CÓMO DIBUJAR UN PENTAGRAMA PERFECTO
Al Antiguo Estilo Griego
Bill D
Este documento muestra como se puede trazar —teóricamente— un pentagrama geométricamente perfecto, utilizando el Antiguo Estilo Griego —es decir, utilizando únicamente una regla y un compás.
DEFINICIONES
A (p, q) Estrella Poligonal se define de la siguiente manera. Se toma un círculo con un número (p) de puntos a lo largo de su circunferencia espaciados entre sí. De cada uno de los puntos (p) se trazan varios segmentos desde ese punto a cada punto (q) alrededor del círculo. Los segmentos formarán la Estrella Poligonal.
Cuando (p, q) = (5,2), la forma resultante será la de una estrella de cinco puntas, o pentagrama. Un pentagrama también puede definirse como la figura formada al trazar las cinco diagonales de un pentágono regular.
Sea (X) la longitud deseada para uno de los cinco segmentos que conformarán el pentagrama. Se construye el rectángulo ABCD, donde el segmento AB = X y BC = X / 2. 1. A continuación, se traza la diagonal AC.
Se ubica un punto (e) en la diagonal, de manera que Ce = BC. Esto puede hacerse ubicando la punta del compás sobre (C), y el grafito sobre (B), trazando a continuación un arco que conecte los puntos (B) y (e).
Sea (f) un punto sobre el lado superior del rectángulo, de manera que Af = Ae. (f) puede hallarse de manera similar a como se ubicó el punto (e): utilizando el compás para trazar el arco ef.
El punto (f) crea un corte en el segmento AB. El punto (g) es un segundo corte que puede ser hallado siguiendo el mismo procedimiento, o simplemente midiendo el segmento Bf con el compás y trazando (g) de manera que Ag = Bf.
El único elemento necesario para formar el diagrama es el segmento AgfB; el resto puede ser borrado.
Con la punta del compás sobre el punto (A), y el grafito sobre (f) se traza un arco bajo la línea. Así mismo, que el compás toque los puntos (B) y (g) y se traza un arco al lado derecho. Los arcos harán intersección en el punto (H) (el cual debe coincidir con la bisectriz AB, es decir, de dibujarse una).
Ahora solo es cuestión de "conectar los puntos". Se traza una línea que vaya desde (H) hasta (g), extendiéndola de manera que su longitud sea igual a la de AB. Así mismo, se traza una línea que vaya desde (H) hasta (f), extendiéndola de manera que su longitud sea igual a AB. A continuación, se marcan estos puntos como (I) y (J). Se conecta (A) con (J), y (B) con (I). Acto seguido se borra cualquier marca de lápiz que haya quedado. El resultado será un pentagrama matemáticamente preciso.
AÑADIR UN CÍRCULO (opcional)
En algunas tradiciones religiosas, suele trazarse un círculo alrededor del pentagrama. Si se quiere trazar dicho círculo, es preciso seguir este procedimiento:
Se utiliza la regla para trazar dos líneas, una que conecte los puntos (g) y (J), la otra que conecte los puntos (f) y (I). El punto de intersección de estas líneas marcará el centro del pentagrama y, por ende, el centro del círculo deseado. Se coloca la punta del compás sobre este punto, y el grafito sobre cualquiera de las cinco puntas exteriores (digamos, el punto (I)). Una vez definidos el radio y el centro, simplemente se traza el círculo con el compás
SOBRE LA "PERFECCIÓN"
Si bien el proceso creará un pentagrama —en teoría— perfecto, puede que —en la práctica—no sea absolutamente perfecto. Como sucede con cualquier procedimiento que implique medidas, habrá errores muy leves a la hora de trazar las líneas, un compás suele dejar orificios en una hoja de papel, etc. Aún así, los resultados serán mucho más precisos que cualquier intento que se haga "a mano alzada".
Referencias
Eric Weisstein's World of Mathematics, http://mathworld.wolfram.com/. (Tiene más información sobre la definición del pentagrama y algo de su historia matemática).
NOTA
El Pentagrama ha sido —y sigue siendo— utilizado por diversas culturas y religiones. El mismo Pitágoras lo utilizó —era el símbolo de su logia (la Academia) — y le llamó Pentalfa. Si bien este documento es puramente matemático, hay muchas personas que le dan al Pentagrama un significado religioso. Y como la religión suele ser un tema algo "espinoso", me gustaría tratar unos cuantos puntos al respecto.
El término Pentáculo es utilizado a veces como un eufemismo para la palabra Pentagrama, o bien como una palabra que se refiere específicamente al Pentagrama que lleva una punta hacia arriba. En realidad, esto es una utilización errónea de dichos términos. Como lo indica el sufijo "grama", "Pentagrama" es el nombre de dicha figura geométrica, no importa para qué lado lleve la punta. Literalmente, un Pentáculo es un objeto que tiene la forma de un Pentagrama. Si bien suena algo confuso, es similar a la analogía entre "esfera" y "pelota"; el primer término indica la figura en sí, el segundo es un objeto moldeado con dicha forma. Así pues, habrá algunos que consideren este símbolo como ofensivo a nivel religioso.
